Calcule o valor das seguintes integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
Este é um caso de integração em região elíptica; para facilitar, vamos usar mudança de variáveis que transforme essa elipse no disco unitário.
Passo 2
Fazemos a transformação
de modo que a condição
vira
isto é, o disco unitário
. A jacobiana dessa transformação é
portanto
Passo 3
Expressamos
em função de
:
Logo o integrando
transforma-se em
Assim a integral original passa a ser
Passo 4
Para calcular
, usamos coordenadas polares no disco
:
com
,
. Então
Calculamos separadamente:
Logo
Substituindo de volta na integral original, obtemos