Calcule o valor das seguintes integrais:
\iint_{R} x^{2} d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 4 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iint_{R} x^{2}\,dx\,dy,
onde
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4x^{2}+y^{2}\le1\}.
Este é um caso de integração em região elíptica; para facilitar, vamos usar mudança de variáveis que transforme essa elipse no disco unitário.

Passo 2

Fazemos a transformação
u = 2x,\quad v = y,
de modo que a condição 4x^{2}+y^{2}\le1 vira
u^{2}+v^{2}\le1,
isto é, o disco unitário D\colon u^{2}+v^{2}\le1. A jacobiana dessa transformação é
\biggl|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\biggr| = \frac12,
portanto
dx\,dy = \frac12\,du\,dv.

Passo 3

Expressamos x^{2} em função de (u,v):
x = \frac{u}{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = \frac{u^{2}}{4}.
Logo o integrando x^{2}\,dx\,dy transforma-se em
\frac{u^{2}}{4}\cdot\frac12\,du\,dv = \frac{u^{2}}{8}\,du\,dv.
Assim a integral original passa a ser
\iint_{R}x^{2}\,dx\,dy = \iint_{D}\frac{u^{2}}{8}\,du\,dv = \frac{1}{8}\iint_{D}u^{2}\,du\,dv.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \iint_{D}u^{2}\,du\,dv, usamos coordenadas polares no disco D:
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,\quad du\,dv = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Então
\iint_{D}u^{2}\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} (r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \int_{0}^{1}r^{3}\,dr.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr = \frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
Logo
\iint_{D}u^{2}\,du\,dv = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}.
Substituindo de volta na integral original, obtemos
\iint_{R}x^{2}\,dx\,dy = \frac{1}{8}\;\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{32}

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