Considere o conjunto
. Mostre que
NÃO é um espaço vetorial sobre
, quando munido de cada uma das seguintes operações
e
e
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual
e a multiplicação por escalar
.
Queremos mostrar que NÃO satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial sobre
.
com a soma usual
e a multiplicação por escalar
Queremos mostrar que
Passo 2
Uma das propriedades fundamentais de espaço vetorial é a existência do elemento neutro escalar, ou seja, para todo
deve valer
Vamos testar essa propriedade com o escalar
e um vetor genérico
.
Passo 3
Pela definição dada,
Para que isto fosse igual a
teríamos de ter
para todo vetor em
, o que não ocorre em geral. Logo