Considere o conjunto V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ; x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que (V,+, \cdot) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, quando munido de cada uma das seguintes operações \oplus e \odot
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}\right) e \lambda \odot\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, 1\right).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\displaystyle V=\{(x_{1},x_{2},x_{3}) \mid x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R}\}
com a soma usual
\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\oplus(y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})
e a multiplicação por escalar
\displaystyle \lambda\odot(x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},1).
Queremos mostrar que (V,\oplus,\odot) NÃO satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Uma das propriedades fundamentais de espaço vetorial é a existência do elemento neutro escalar, ou seja, para todo v\in V deve valer
1\odot v \;=\; v.
Vamos testar essa propriedade com o escalar 1 e um vetor genérico v=(x_{1},x_{2},x_{3}).

Passo 3

Pela definição dada,
1\odot(x_{1},x_{2},x_{3}) =\bigl(1\cdot x_{1},\,1\cdot x_{2},\,1\bigr) =(x_{1},x_{2},1).
Para que isto fosse igual a (x_{1},x_{2},x_{3}) teríamos de ter 1=x_{3} para todo vetor em V, o que não ocorre em geral. Logo
1\odot(x_{1},x_{2},x_{3})\neq(x_{1},x_{2},x_{3}) \quad\text{(em geral)}.

Resposta

(V,\oplus,\odot) não é espaço vetorial porque falha o axioma que exige 1\odot v = v para todo v\in V.

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