Considere o conjunto V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ; x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R}\right\}. Mostre que (V,+, \cdot) NÃO é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, quando munido de cada uma das seguintes operações \oplus e \odot
\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) e \lambda \odot\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \lambda x_{3}\right).

Passo 1

O enunciado define o conjunto V=\{(x_{1},x_{2},x_{3});\,x_{i}\in\mathbb{R}\} com as operações
(x_{1},x_{2},x_{3})\oplus(y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{1},y_{2},y_{3}),
\lambda\odot(x_{1},x_{2},x_{3})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3}).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, deveríamos satisfazer todas as axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro para a soma (identidade aditiva) e a comutatividade de \oplus. Vamos mostrar que já um desses falha.

Passo 2

Suponha que exista um vetor neutro e=(e_{1},e_{2},e_{3}) para \oplus. Pela definição de neutro precisamos ter para todo v=(v_{1},v_{2},v_{3})\in V:
v\oplus e = v \quad\text{e}\quad e\oplus v = v.
Mas pela definição de \oplus:
v\oplus e = e \quad\text{e}\quad e\oplus v = v.
Para v\oplus e = v exigiríamos e=v. Como isso deve valer para todo v, não existe um único e que seja igual a todos os v. Concluímos que não há elemento neutro para \oplus.

Passo 3

Sem elemento neutro, falta um dos axiomas de espaço vetorial. Alternativamente, notamos também que a soma não é comutativa: para u\neq v
u\oplus v = v \quad\text{mas}\quad v\oplus u = u,
logo u\oplus v\neq v\oplus u. Portanto, a estrutura (V,\oplus,\odot) falha em satisfazer os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

(V,\oplus,\odot) não é espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois não existe elemento neutro para \oplus (e também \oplus não é comutativa).

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