Considere o conjunto
. Mostre que
NÃO é um espaço vetorial sobre
, quando munido de cada uma das seguintes operações
e
e
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Para ser espaço vetorial sobre
, deveríamos satisfazer todas as axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro para a soma (identidade aditiva) e a comutatividade de
. Vamos mostrar que já um desses falha.
Passo 2
Suponha que exista um vetor neutro
para
. Pela definição de neutro precisamos ter para todo
:
Mas pela definição de
:
Para
exigiríamos
. Como isso deve valer para todo
, não existe um único
que seja igual a todos os
. Concluímos que não há elemento neutro para
.
Passo 3
Sem elemento neutro, falta um dos axiomas de espaço vetorial. Alternativamente, notamos também que a soma não é comutativa: para
logo
. Portanto, a estrutura
falha em satisfazer os axiomas de espaço vetorial.