Calcule o valor das seguintes integrais:
\iint_{R} y^{3} e^{x y^{2}} d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1,1 \leq y \leq\right. 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y^{3}e^{x y^{2}}\,dx\,dy
no retângulo R = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}.
O conteúdo envolvido é integração iterada: primeiro integramos em x (variável interna) e depois em y (variável externa).

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx.
Aqui y é tratada como constante, então
\int_{0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição interna \,u = x y^{2}, de modo que du = y^{2}\,dx, isto é dx = du/y^{2}. Quando x=0, u=0; quando x=1, u=y^{2}. Logo
y^{3}\int_{0}^{1}e^{x y^{2}}\,dx = y^{3}\int_{0}^{y^{2}}e^{u}\frac{du}{y^{2}} = y\int_{0}^{y^{2}}e^{u}\,du.

Passo 3

Avaliaremos
y\int_{0}^{y^{2}}e^{u}\,du = y\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{y^{2}} = y\bigl(e^{y^{2}} - 1\bigr).
Portanto a integral interna em x é
\int_{0}^{1}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx = y\bigl(e^{y^{2}} - 1\bigr).

Passo 4

Agora a integral externa em y fica
\int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}} - 1\bigr)\,dy = \int_{1}^{2}y e^{y^{2}}\,dy \;-\;\int_{1}^{2}y\,dy.

Passo 5

  1. Para \displaystyle\int_{1}^{2}y e^{y^{2}}\,dy, usamos t=y^{2}, dt=2y\,dy, então
\int_{1}^{2}y e^{y^{2}}\,dy = \frac12\int_{1^{2}}^{2^{2}}e^{t}\,dt = \frac12\bigl[e^{t}\bigr]_{1}^{4} = \tfrac12\bigl(e^{4}-e\bigr).
  1. Para \displaystyle\int_{1}^{2}y\,dy, é a integral de potência:
\int_{1}^{2}y\,dy = \tfrac12\bigl[y^{2}\bigr]_{1}^{2} = \tfrac12(4-1) = \tfrac32.

Passo 6

Substituindo os resultados, temos
\int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^{2}} - 1\bigr)\,dy = \frac12\bigl(e^{4}-e\bigr) - \frac32 = \frac{e^{4}-e - 3}{2}.

Resposta

\iint_{R}y^{3}e^{x y^{2}}\,dx\,dy = \frac{e^{4}-e-3}{2}.

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