QUESTÃO 1 [valor: 2,0 pontos] Calcule as integrais iteradas.
\iiint x y z^{2} d x d y d z, para R=[0,3] \times[-1,2] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral tripla
\displaystyle \iiint_R x\,y\,z^2 \,dx\,dy\,dz
sobre o paralelepípedo
\displaystyle R = [0,3]\times[-1,2]\times[0,1].
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Fubini e o fato de que o integrando é um produto de funções de uma única variável, o que permite separar a integral.

Passo 2

Como o integrando é produto de funções de variáveis distintas e o domínio é um paralelepípedo, aplicamos Fubini para escrever
\iiint_R x\,y\,z^2 \,dx\,dy\,dz = \Bigl(\!\int_{0}^{3} x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\!\int_{-1}^{2} y\,dy\Bigr)\, \Bigl(\!\int_{0}^{1} z^2\,dz\Bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{3} x\,dx.
Como \displaystyle \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}, temos
\int_{0}^{3} x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{3} = \frac{9}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{-1}^{2} y\,dy.
Como \displaystyle \int y\,dy = \tfrac{y^2}{2}, obtemos
\int_{-1}^{2} y\,dy = \frac{y^2}{2}\Big|_{-1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} z^2\,dz.
Como \displaystyle \int z^2\,dz = \tfrac{z^3}{3}, resulta
\int_{0}^{1} z^2\,dz = \frac{z^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 6

Agora é só multiplicar os três resultados:
\frac{9}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{1}{3} = \frac{9\cdot3\cdot1}{2\cdot2\cdot3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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