Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
f(x)=\frac{2 x+5}{4 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2x+5}{4x}
O conteúdo principal é a derivação de uma função do tipo quociente, então vamos usar a regra do quociente, além das regras de derivar uma constante, derivar x e simplificar potências.

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=2x+5
v(x)=4x
para aplicar a regra do quociente que diz
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+5)=2,
v'(x)=\frac{d}{dx}(4x)=4.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v - u\,v'}{v^2} =\frac{2\cdot(4x) - (2x+5)\cdot4}{(4x)^2}.

Passo 5

Simplificando o numerador e o denominador:
2\cdot(4x)=8x,\quad (2x+5)\cdot4=8x+20,
8x - (8x+20) = -20,
(4x)^2 =16x^2.
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f'(x)=\frac{-20}{16x^2}=-\frac{5}{4x^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{5}{4x^2}.

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