Determine a equação da reta tangente a curva y=f(x) no ponto indicado:
y=x^{2} ; \quad P(2,4)

Passo 1

O enunciado dá a função y = f(x) = x^2 e pede a reta tangente nesse ponto P(2,4). Para encontrar essa reta, precisamos do coeficiente angular, que é dado pela derivada de f, e depois usar a forma ponto-declive da reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=x^2, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer x:
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=2 é
m = f'(2) = 2\cdot 2 = 4.

Passo 4

Usamos a forma ponto-declive da reta:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde (x_0,y_0)=(2,4) e m=4. Logo,
y - 4 = 4\,(x - 2)
e, ao simplificar,
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 4x - 4.

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