Calcule o valor dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 2 x^2 y3 x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=2x^2y3x^2+4y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite em várias variáveis e, para resolver, vamos usar coordenadas polares para ver se o resultado independe da direção.

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, rto0^+,
temos
2x^2y3x^2+4y^2 =2,(rcostheta)^2,(rsintheta)3,(rcostheta)^2+4,(rsintheta)^2 =2r^3cos^2thetasinthetar^2l(3cos^2theta+4sin^2thetar) =r;2cos^2thetasintheta3cos^2theta+4sin^2theta

Passo 3

Observe que a parte angular
2cos^2thetasintheta3cos^2theta+4sin^2theta
é limitada (denominador nunca é zero). Logo existe constante M tal que
l|tfrac2cos^2thetasintheta3cos^2theta+4sin^2thetar|<= M
Assim
l|f(x,y)r| <= M,r,
e como rto0, segue que M,rto0.

Passo 4

Portanto o limite existe, independe de theta e vale zero.

Resposta

0

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