Calcule o valor dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)to(0,0) sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O assunto é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
x^2+y^2 = r^2
Como (x,y)to(0,0) corresponde a rto0 (independente de theta), a função vira
sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2 = sin(r^2)r^2

Passo 3

Agora, façamos a troca de variável t=r^2. Quando rto0, temos tto0, e vale o limite fundamental de uma variável:
limtto 0sin(t)t=1
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limrto0sin(r^2)r^2=1

Resposta

O valor do limite é 1.

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