e são superfícies e é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário quando visto de positivo (de cima).
Responda sem calcular: quanto vale , sendo S^prime o hemisfério inferior da superfície esférica de raio raiz3 com normal de componente z positiva. Justifique.
Passo 1
Neste exercício, temos um campo vetorial F = (y, z, x) e precisamos determinar o valor da integral de superfície do rotacional de F sobre a superfície S', que é o hemisfério inferior de uma esfera de raio raiz3 com normal de componente z positiva. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” ao redor de um ponto. Calculando o rotacional de F:
nabla times F = ( partial xpartial y - partial zpartial z, partial ypartial z - partial xpartial x, partial zpartial x - partial ypartial y ) = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = ( -1, -1, -1 )
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de F sobre S' à integral de linha de F ao longo da borda de S'. A borda de S' é a curva C, definida por x^2+y^2=3 e z=0. Portanto:
integral duplaS' nabla times F cdot dS = ointC F cdot dr
Passo 4
Para simplificar, observamos que o campo vetorial F e a curva C possuem simetrias que facilitam o cálculo da integral de linha. No entanto, como o enunciado pede para responder sem calcular, vamos analisar a integral do rotacional diretamente.
Como o rotacional de F é constante e igual a ( -1, -1, -1 ), a integral de superfície será o produto do rotacional pelo vetor normal à superfície multiplicado pela área da superfície.
Passo 5
Dado que S' é o hemisfério inferior de uma esfera de raio raiz3 e a normal possui componente z positiva, o vetor normal pode ser representado como (0, 0, 1). Portanto, o produto escalar nabla times F cdot n é:
( -1, -1, -1 ) cdot (0, 0, 1) = -1
A área de um hemisfério de raio r é 2pi r^2. Substituindo r = raiz3:
Área = 2pi (raiz3)^2 = 2pi times 3 = 6pi Á
Resposta
Portanto, a integral integral duplaS' nabla times F cdot dS vale -6pi.