Seja o campo vetorial F=(y, z, x) e
S1=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 3, z=1, S2=(x, y, z) mid x^2+y^2=3,0 <= z <= 1, C=(x, y, z) mid x^2+y^2=3, z=0
S1 e S2 são superfícies e C é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário quando visto de z positivo (de cima).
Calcule ointC F cdot d s. Desenhe a curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F = (y, z, x) e algumas superfícies S1, S2 e uma curva fechada C. Nosso objetivo é calcular a integral de linha ointC F cdot d s. Para fazer isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha em torno de C com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem C como fronteira. Vamos precisar calcular o rotacional de F e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para F = (y, z, x), temos:
partial Fzpartial y &= partial xpartial y = 0 partial Fypartial z &= partial zpartial z = 1 partial Fxpartial z &= partial ypartial z = 0 partial Fzpartial x &= partial xpartial x = 1 partial Fypartial x &= partial zpartial x = 0 partial Fxpartial y &= partial ypartial y = 1
Então,
nabla times F = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

Passo 3

Agora, vamos escolher uma superfície para aplicar o Teorema de Stokes. A curva C está definida como x^2 + y^2 = 3 e z = 0, que é um círculo no plano z = 0 com raio raiz3. Podemos escolher a superfície S3 que é o disco preenchido por C no plano z = 0. Essa escolha simplifica os cálculos porque a normal à superfície será na direção do eixo z, facilitando a integração.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície S3. No plano z = 0, qualquer ponto pode ser representado em coordenadas polares como:
x &= r cos theta y &= r sin theta z &= 0
Onde r varia de 0 a raiz3 e theta varia de 0 a 2pi.
A normal à superfície S3 é n = (0, 0, 1), já que estamos no plano z = 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointC F cdot d s = integral duplaS3 (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional que calculamos:
(nabla times F) cdot n = (-1, -1, -1) cdot (0, 0, 1) = -1
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS3 (-1) , dS = - integral duplaS3 dS
A integral integral duplaS3 dS é simplesmente a área da superfície S3, que é a área de um círculo com raio raiz3:
Área = pi r^2 = pi (raiz3)^2 = 3pi Á
Portanto,
ointC F cdot d s = -3pi

Resposta

A integral de linha ointC F cdot d s é igual a -3pi.

Curva

A curva C é um círculo no plano z = 0 com raio raiz3. Imagine um círculo no chão com centro na origem e raio raiz3.

Ilustração da Curva

Nota: O diagrama acima representa a vista superior da curva draw[thick] (0,0) circ<= (2); filldraw (0,0) circ<= (2pt) node[anchor=north] $(0,0,0)$; draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] $x$; draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] $y$; no plano C.

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