Seja o campo vetorial
e
e
são superfícies e
é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário quando visto de
positivo (de cima).
Escreva, sem calcular, a integral do item (a) em termos da integral sobre a superfície
usando o teorema de Stokes. Esboce
. (O cálculo fica para o Exe.4.)
Escreva, sem calcular, a integral do item (a) em termos da integral sobre a superfície
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um campo vetorial
e algumas superfícies e curvas no espaço tridimensional. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Stokes e como representar a integral sobre a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que:
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre a superfície
que tem
como fronteira, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, o que faz o problema pedir é para escrever a integral do item (a) (que provavelmente é a integral de linha sobre
) em termos da integral sobre a superfície
usando o Teorema de Stokes. Isso significa que vamos aplicar a igualdade do teorema para relacionar essas duas integrais.
Passo 4
Vamos identificar a curva
e a superfície
. A curva
é definida por
e
, que é um círculo no plano
com raio
. A superfície
é a união de duas partes:
, que é um disco no plano
com raio
, e
, que é a parte lateral cilindrica que conecta
e
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Ou seja, a integral de linha sobre
é igual à integral de superfície sobre
, que é a união de
e
.
Passo 6
Agora, para expressar a integral no formato solicitado, basta deixar claro que estamos usando a superfície
na integral de superfície. Portanto, sem fazer os cálculos, a integral fica escrita dessa forma.
Passo 7
Por fim, sobre o esboço de
, imagine um cilindro com base no círculo
no plano
e topo no plano
(representado por
). A superfície lateral
conecta essas duas bases, formando o cilindro completo.
Resposta
Usando o Teorema de Stokes, a integral de linha sobre
é igual à integral de superfície sobre
. Assim, temos: