Seja o campo vetorial F=(y, z, x) e
S1=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 3, z=1, S2=(x, y, z) mid x^2+y^2=3,0 <= z <= 1, C=(x, y, z) mid x^2+y^2=3, z=0
S1 e S2 são superfícies e C é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário quando visto de z positivo (de cima).
Escreva, sem calcular, a integral do item (a) em termos da integral sobre a superfície S=S1 cup S2 usando o teorema de Stokes. Esboce S. (O cálculo fica para o Exe.4.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um campo vetorial F = (y, z, x) e algumas superfícies e curvas no espaço tridimensional. A matéria que vamos usar aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como aplicar o teorema de Stokes e como representar a integral sobre a superfície S = S1 cup S2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele estabelece que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre a superfície S que tem C como fronteira, onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, o que faz o problema pedir é para escrever a integral do item (a) (que provavelmente é a integral de linha sobre C) em termos da integral sobre a superfície S = S1 cup S2 usando o Teorema de Stokes. Isso significa que vamos aplicar a igualdade do teorema para relacionar essas duas integrais.

Passo 4

Vamos identificar a curva C e a superfície S. A curva C é definida por x^2 + y^2 = 3 e z = 0, que é um círculo no plano z = 0 com raio raiz3. A superfície S é a união de duas partes: S1, que é um disco no plano z = 1 com raio raiz3, e S2, que é a parte lateral cilindrica que conecta S1 e C.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
ointC F cdot dr = integral duplaS1 cup S2 (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha sobre C é igual à integral de superfície sobre S, que é a união de S1 e S2.

Passo 6

Agora, para expressar a integral no formato solicitado, basta deixar claro que estamos usando a superfície S = S1 cup S2 na integral de superfície. Portanto, sem fazer os cálculos, a integral fica escrita dessa forma.

Passo 7

Por fim, sobre o esboço de S, imagine um cilindro com base no círculo C no plano z = 0 e topo no plano z = 1 (representado por S1). A superfície lateral S2 conecta essas duas bases, formando o cilindro completo.

Resposta

Usando o Teorema de Stokes, a integral de linha sobre C é igual à integral de superfície sobre S = S1 cup S2. Assim, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaS1 cup S2 (nabla times F) cdot n , dS

Exercícios relacionados