Uma partûÙcula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma funûÏûÈo posiûÏûÈo x=x(t). Sendo v(t)=x^prime(t) a funûÏûÈo velocidade da partûÙcula e a(t)= x^prime prime(t) a funûÏûÈo aceleraûÏûÈo da partûÙcula, determine x= x(t) nos casos abaixo:
x(0)=0 e

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração da partícula como a(t)=cosl(tfrac t4r), e queremos encontrar a posição x(t) sabendo que v(0)=tfrac12 e x(0)=0. O conteúdo aqui é integração sucessiva: primeiro de a(t) para achar v(t), depois de v(t) para achar x(t).

Passo 2

Para obter a velocidade, integramos a(t):
v(t)=integral a(t),dt+ C1=integral cosl(tfrac t4r),dt+ C1=4sinl(tfrac t4r)+C1

Passo 3

Agora usamos a condição inicial v(0)=tfrac12:
v(0)=4sin(0)+C1=C1=tfrac12, ou seja, C1=tfrac12, portanto
v(t)=4sinl(tfrac t4r)+tfrac12

Passo 4

Em seguida, integramos v(t) para achar x(t):
x(t)=integral v(t),dt+ C2=integrall(4sinl(tfrac t4r)+tfrac12r)dt+ C2=-16cosl(tfrac t4r)+tfrac t2+C2

Passo 5

Usando a condição inicial x(0)=0:
x(0)=-16cos(0)+0+C2=-16+C2=0implies C2=16 Logo chegamos à expressão final de x(t).

Resposta

x(t)=-16cosl(tfrac t4r)+tfrac t2+16.

Exercícios relacionados