Problema de otimização: Uma empresa fabrica e vende cadeiras. O custo de produção de
cadeiras é dado pela função
, e a receita gerada pela venda de
cadeiras é dada por
. Determine o número de cadeiras
que maximiza o lucro da empresa. Qual é o valor máximo do lucro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de otimização envolvendo uma empresa que fabrica e vende cadeiras. O custo para produzir
cadeiras é dado por
, e a receita da venda dessas cadeiras é
. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas cadeiras a empresa precisa vender para maximizar o lucro e qual é esse lucro máximo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de custo, receita e lucro, além de saber como manipular essas funções para encontrar o valor ótimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é lucro. O lucro (
) é a diferença entre a receita e o custo. Então, a fórmula para o lucro vai ser:
Substituindo as funções que temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão para deixar o lucro de uma forma mais clara:
Então, a função do lucro é:
Passo 4
Para maximizar o lucro, precisamos ver como essa função se comporta. A função
é uma reta que cresce conforme
aumenta, porque o coeficiente de
é positivo (10). Isso significa que, quanto mais cadeiras a empresa vende, maior o lucro.
Passo 5
Mas peraí, se a função do lucro sempre aumenta conforme vendemos mais cadeiras, então qual é o número de cadeiras que realmente maximiza o lucro? Na verdade, sem um limite para
, o lucro pode crescer indefinidamente. Isso indica que, com as informações dadas, não há um ponto máximo finito para o lucro. A empresa pode sempre aumentar as vendas e, consequentemente, o lucro.
Passo 6
Entretanto, na prática, geralmente existem limitações como capacidade de produção, demanda de mercado ou recursos disponíveis que não foram mencionadas no problema. Sem essas restrições, matematicamente, o lucro não tem um máximo.
Resposta
Com as informações fornecidas, o lucro da empresa aumenta de forma contínua conforme o número de cadeiras vendidas aumenta. Portanto, não há um número finito de cadeiras que maximize o lucro; o lucro máximo não está limitado dentro das condições do problema.