Problema de otimização: Uma empresa fabrica e vende cadeiras. O custo de produção de x cadeiras é dado pela função C(x)=5 x+100, e a receita gerada pela venda de x cadeiras é dada por R(x)=15 x. Determine o número de cadeiras x que maximiza o lucro da empresa. Qual é o valor máximo do lucro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de otimização envolvendo uma empresa que fabrica e vende cadeiras. O custo para produzir x cadeiras é dado por C(x) = 5x + 100, e a receita da venda dessas cadeiras é R(x) = 15x. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas cadeiras a empresa precisa vender para maximizar o lucro e qual é esse lucro máximo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de custo, receita e lucro, além de saber como manipular essas funções para encontrar o valor ótimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é lucro. O lucro ( P(x)) é a diferença entre a receita e o custo. Então, a fórmula para o lucro vai ser:
P(x) = R(x) - C(x)
Substituindo as funções que temos:
P(x) = 15x - (5x + 100)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão para deixar o lucro de uma forma mais clara:
P(x) = 15x - 5x - 100 = 10x - 100
Então, a função do lucro é:
P(x) = 10x - 100

Passo 4

Para maximizar o lucro, precisamos ver como essa função se comporta. A função P(x) = 10x - 100 é uma reta que cresce conforme x aumenta, porque o coeficiente de x é positivo (10). Isso significa que, quanto mais cadeiras a empresa vende, maior o lucro.

Passo 5

Mas peraí, se a função do lucro sempre aumenta conforme vendemos mais cadeiras, então qual é o número de cadeiras que realmente maximiza o lucro? Na verdade, sem um limite para x, o lucro pode crescer indefinidamente. Isso indica que, com as informações dadas, não há um ponto máximo finito para o lucro. A empresa pode sempre aumentar as vendas e, consequentemente, o lucro.

Passo 6

Entretanto, na prática, geralmente existem limitações como capacidade de produção, demanda de mercado ou recursos disponíveis que não foram mencionadas no problema. Sem essas restrições, matematicamente, o lucro não tem um máximo.

Resposta

Com as informações fornecidas, o lucro da empresa aumenta de forma contínua conforme o número de cadeiras vendidas aumenta. Portanto, não há um número finito de cadeiras que maximize o lucro; o lucro máximo não está limitado dentro das condições do problema.

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