Calcule o valor dos seguintes limites:
lim x 2 (x^2-4)+raiz[3]x^3-8x-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto2(x^2-4)+raiz[3]x^3-8x-2
Aqui o conteúdo é cálculo de limite com indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração em diferença de quadrados e em diferença de cubos, e propriedades da raiz cúbica.

Passo 2

Note que
x^2-4=(x-2)(x+2)
e
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)
Logo
raiz[3]x^3-8 =raiz[3](x-2)(x^2+2x+4) =raiz[3]x-2,raiz[3]x^2+2x+4

Passo 3

Escrevendo o numerador com essas fatorações,
(x^2-4)+raiz[3]x^3-8 =(x-2)(x+2)+raiz[3]x-2,raiz[3]x^2+2x+4
Agora fatoramos raiz[3]x-2 em evidência:
(x-2)(x+2)=l(raiz[3]x-2r)^3(x+2),
então
numerador =raiz[3]x-2l[l(raiz[3]x-2r)^2(x+2)+raiz[3]x^2+2x+4r]

Passo 4

Dividindo pelo denominador x-2, que é l(raiz[3]x-2r)^3, obtemos
(x^2-4)+raiz[3]x^3-8x-2 =raiz[3]x-2l[l(raiz[3]x-2r)^2(x+2)+raiz[3]x^2+2x+4r] l(raiz[3]x-2r)^3 =l(raiz[3]x-2r)^2(x+2)+raiz[3]x^2+2x+4l(raiz[3]x-2r)^2

Passo 5

À medida que xto2, temos raiz[3]x-2to0 e x+2to4, raiz[3]x^2+2x+4toraiz[3]12. Logo o numerador tende a raiz[3]12 e o denominador a 0^+. Portanto
  • para xto2^+, raiz[3]x-2>0 e a fração to+infty;
  • para xto2^-, raiz[3]x-2<0 e a fração to-infty.
Isso mostra que o limite bilateral não existe (há divergência infinita com sinais opostos).

Resposta

O limite não existe, pois
limxto2^-(x^2-4)+raiz[3]x^3-8x-2=-infty, limxto2^+(x^2-4)+raiz[3]x^3-8x-2=+infty

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