Calcule o valor dos seguintes limites:
lim x 1 x^3+4 x^2-x-42 x^3-3 x^2+4 x-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^3+4x^2-x-42x^3-3x^2+4x-3
O conteúdo é limite de forma indeterminada tfrac00. Vamos usar substituição direta para identificar a indeterminação, depois fatorar numerador e denominador e simplificar.

Passo 2

Aplicando substituição direta em x=1:
num = 1^3+4cdot1^2-1-4 = 1+4-1-4 = 0,
den = 2cdot1^3-3cdot1^2+4cdot1-3 = 2-3+4-3 = 0
Como obtemos 0/0, há indeterminação, e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador por agrupamento:
x^3+4x^2-x-4 = (x^3+4x^2) - (x+4) = x^2(x+4) -1,(x+4) = (x+4)(x^2-1) = (x+4)(x-1)(x+1)

Passo 4

Fatoramos o denominador observando que x=1 é raiz. Usando divisão sintética de 2x^3-3x^2+4x-3 por (x-1), obtemos quociente 2x^2-x+3. Logo
2x^3-3x^2+4x-3 = (x-1),(2x^2-x+3)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração e cancelando (x-1):
x^3+4x^2-x-42x^3-3x^2+4x-3 = (x+4)(x-1)(x+1)(x-1)(2x^2-x+3) = (x+4)(x+1)2x^2-x+3
Agora fazemos xto1:
limxto1(x+4)(x+1)2x^2-x+3 = (1+4)(1+1)2cdot1^2-1+3 = 5cdot22-1+3 = 104 = 52

Resposta

52

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