Calcule o valor dos seguintes limites:
lim x 1 sin (x^n-1)x^m-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1sinl(x^n-1r)x^m-1
onde m e n são parâmetros (tipicamente inteiros). O tipo de indeterminação é 0/0, pois ao substituir x=1 temos sin(1^n-1)=sin(0)=0 e 1^m-1=0. Para resolver, podemos usar a aproximação sin usim u quando uto0 ou aplicar a fatoração clássica que envolve o limite limuto0sin uu=1.

Passo 2

Escrevemos a expressão de forma a usar o limite fundamental limuto0sin uu=1:
sinl(x^n-1r)x^m-1 =sinl(x^n-1r)x^n-1,cdotx^n-1x^m-1

Passo 3

Analisamos cada fator separadamente ao xto1:
1. Para o primeiro fator, com u=x^n-1, temos uto0 e
limxto1sinl(x^n-1r)x^n-1 =limuto0sin uu=1
2. Para o segundo fator, usamos a regra de l’Hôpital ou observamos que
x^n-1=(x-1),l(x^n-1+cdots+1r), x^m-1=(x-1),l(x^m-1+cdots+1r)
Ao dividir e tomar xto1, cada soma de termos tende a n ou a m, respectivamente. Logo,
limxto1x^n-1x^m-1 =nm

Passo 4

Multiplicando os limites dos dois fatores, obtemos
limxto1sinl(x^n-1r)x^m-1 =1;times;nm =nm

Resposta

nm

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