Calcule o valor dos seguintes limites:
Se f(x)=3 x^2-2, achar lim h 0 f(x+h)-f(x)h

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=3x^2-2 e pede para calcular o limite que define a derivada de f, isto é
limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos usar a definição de derivada pelo limite do quociente de diferença.

Passo 2

Primeiro calculamos o numerador f(x+h)-f(x). Temos
f(x+h) = 3(x+h)^2 -2 = 3x^2 + 6xh + 3h^2 -2,
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f(x+h)-f(x) = (3x^2 +6xh +3h^2 -2) - (3x^2 -2) = 6xh +3h^2

Passo 3

Agora dividimos por h:
f(x+h)-f(x)h = 6xh +3h^2h = 6x +3h
Tomando o limite quando hto0, o termo 3h se anula, restando
limhto0f(x+h)-f(x)h = 6x

Resposta

6x

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