Resolva os itens abaixo:
a) Efetue a antidiferenciação
integral sec x tg x cos (sec x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a antiderivada de:
integral sec x cdot tg x cdot cos (sec x) , dx
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que temos sec x e tg x, cujo produto sec x cdot tg x é a derivada de sec x.
Vamos definir:
u = sec x
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = sec x cdot tg x Rightarrow du = sec x cdot tg x , dx
Perceba que sec x cdot tg x , dx é exatamente o que temos dentro da integral.

Passo 3

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral sec x cdot tg x cdot cos (sec x) , dx = integral cos u , du
Agora, a integral ficou muito mais simples: a antiderivada de cos u em relação a u é sin u.

Passo 4

Então, integramos:
integral cos u , du = sin u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, substituímos u de volta para a expressão original, que é sec x:
sin u + C = sin (sec x) + C

Resposta

sin (sec x) + C

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