Calcule o valor dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \left(x^{3}-1\right)}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to1}\frac{\sin\bigl(x^3-1\bigr)}{x^2-1}.
O conteúdo aqui é cálculo de limites usando o limite fundamental \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1
e fatoração de polinômios.

Passo 2

Definimos u = x^3 - 1. Quando x\to1, então u\to0. Podemos reescrever a expressão como
\frac{\sin\bigl(x^3-1\bigr)}{x^2-1} = \frac{\sin u}{u}\;\cdot\;\frac{u}{x^2-1}.

Passo 3

Pelo limite fundamental,
\lim_{x\to1}\frac{\sin u}{u} = \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} = 1.

Passo 4

Agora fatoramos os polinômios:
u = x^3 - 1 = (x-1)\,(x^2 + x + 1), \quad x^2 - 1 = (x-1)\,(x+1).
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\frac{u}{x^2-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}.
Tomando x\to1,
\lim_{x\to1}\frac{u}{x^2-1} = \frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}.

Resposta

\frac{3}{2}

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