Seja a função f\) definida por: \[f(x)= \begin{cases}\frac{2 x^{2}-3 x-2}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\\ 3, & \text { se } x=2\end{cases}
Calcule (\lim _{x \rightarrow 2} f(x)].

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \frac{2x^{2}-3x-2}{x-2},&x\neq2,\\\\ 3,&x=2, \end{cases}
e nos pede \lim_{x\to2}f(x). O conteúdo é limite de função racional, que envolve fatoração de polinômio e simplificação da expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Fatoramos o numerador 2x^{2}-3x-2. Procuramos fatores lineares de modo que
2x^{2}-3x-2=(2x+1)(x-2).

Passo 3

Para x\neq2, podemos simplificar a expressão de f(x):
f(x)=\frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}=2x+1.

Passo 4

Como a forma simplificada é 2x+1, que é contínua em x=2, basta substituir:
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(2x+1)=2\cdot2+1=5.

Resposta

5

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