(2) Calcule o valor dos seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1raiz[3]x+7-2x-1
Este é um limite no qual o numerador e o denominador tendem a zero, caracterizando uma forma indeterminada 0/0. O conteúdo da matéria aqui é limites de funções envolvendo radiciação, e podemos usar a Regra de l’Hôpital ou reconhecer que esse limite é a derivada da função f(x)=raiz[3]x+7 em x=1.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1:
raiz[3]1+7-2 = 2-2 = 0, 1-1=0
Logo, temos 0/0, e podemos aplicar a Regra de l’Hôpital, que diz que
limxto1f(x)-f(1)x-1 =limxto1f'(x)1 =f'(1),
quando f é diferenciável perto de 1.

Passo 3

Calculemos a derivada de
f(x)=raiz[3]x+7=(x+7)^tfrac13
Pela regra do poder e da cadeia,
f'(x) =13(x+7)^-tfrac23

Passo 4

Agora avaliamos f'(x) em x=1:
f'(1) =13,(1+7)^-tfrac23 =13cdot 8^-tfrac23 =13cdotl(8^tfrac13r)^-2 =13cdot 2^-2 =13cdot14 =112

Resposta

limxto1raiz[3]x+7-2x-1 =112

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