4- a) Usando a expressão F=sigma cdot A onde sigma é a tensão normal e A área, mostre que a máxima carga é atingida quando a relação referente ao encruamento (d sigma / d varepsilon) é igual a tensão sigma.
b) Use a expressão deduzida no item a (d sigma / d varepsilon=sigma) e determine para um material, cuja curva tensão x deformação é sigma=Y+A varepsilon, a elongação uniforme e em termos das constantes A e Y.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, a partir de
F = sigma,A
onde sigma é a tensão verdadeira e A a área verdadeira da seção reta, que o esforço de carga máxima (isto é, dF/dvarepsilon=0) ocorre quando
dsigmadvarepsilon=sigma
Em seguida, para o modelo linear de encruamento dado por
sigma = Y + A,varepsilon,
determinamos a deformação uniforme varepsilonu em função de Y e A.

Passo 2

Escrevemos a força como função da deformação verdadeira varepsilon:
F(varepsilon)=sigma(varepsilon),A(varepsilon)
Diferenciando em relação a varepsilon, usando a regra do produto,
dFdvarepsilon =underbraceA!A(varepsilon)!,dsigmadvarepsilon +underbracesigma!sigma(varepsilon)!,dAdvarepsilon

Passo 3

Pela conservação de volume em deformação plástica (tensão verdadeira vs. deformação verdadeira), temos
varepsilon = lnl(LL0r), L = L0,e^varepsilon, A = A0,e^-varepsilon
Logo,
dAdvarepsilon =-A0,e^-varepsilon =-A(varepsilon)

Passo 4

Substituindo dA/dvarepsilon=-A em dF/dvarepsilon obtemos
dFdvarepsilon = Adsigmadvarepsilon +sigmal(-Ar) = Al(dsigmadvarepsilon-sigmar)
O máximo de carga ocorre quando dF/dvarepsilon=0, isto é,
dsigmadvarepsilon-sigma=0 Longrightarrow dsigmadvarepsilon=sigma

Passo 5

Encontramos assim a condição de encruamento para carga máxima:
boxeddsigmadvarepsilon=sigma

Passo 6

Para o modelo linear de encruamento dado por
sigma = Y + A,varepsilon,
temos
dsigmadvarepsilon=A(constante)
Aplicando a condição do passo anterior:
A=sigma=Y+A,varepsilonu

Passo 7

Resolvendo para varepsilonu:
A - Y = A,varepsilonu Longrightarrow varepsilonu=A-YA=1-YA

Resposta

A elongação uniforme é
varepsilonu=A-YA=1-YA

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