Ex. 5. Verifique que
existe quando.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
existe, sendo
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em um ponto e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que o limite vale zero.
Passo 2
Começamos encontrando uma desigualdade para
. Note que, para quaisquer números reais
e
, vale
pois pelo fato de
aplicado a
e
.
Passo 3
Usando essa desigualdade, temos
Agora, definindo
r=raizx^2+y^2 , isso fica
Quando
(x,y)to(0,0) , temos
rto0 e, portanto,
tfrac14,r^3to0 .
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os limites das extremidades vão a zero, concluímos que