Ex. 5. Verifique que lim (x, y) longrightarrow(0,0) f(x, y) existe quando.
f(x, y)=x^2 y^2raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe, sendo
f(x,y)=x^2y^2raizx^2+y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em um ponto e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que o limite vale zero.

Passo 2

Começamos encontrando uma desigualdade para |f(x,y)|. Note que, para quaisquer números reais x e y, vale
x^2y^2<=l(x^2+y^22r)^2,
pois pelo fato de a,b<=l(tfraca+b2r)^2 aplicado a a=x^2 e b=y^2.

Passo 3

Usando essa desigualdade, temos
l|f(x,y)r| =x^2y^2raizx^2+y^2 <=l(tfracx^2+y^22r)^2raizx^2+y^2 =14,(x^2+y^2)^!2-tfrac12 =14,(x^2+y^2)^tfrac32
Agora, definindo r=raizx^2+y^2, isso fica
l|f(x,y)r|<=14,r^3
Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e, portanto, tfrac14,r^3to0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-tfrac14r^3<= f(x,y)<= tfrac14r^3
e ambos os limites das extremidades vão a zero, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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