1- Em um material submetido a um estado plano de deformações, um quadrado de lados iguais a 10 mm tem seu lado horizontal alongado de 4 mu m enquanto seu lado vertical permanece sem deformação. Ao mesmo tempo o ângulo do vértice inferior esquerdo aumenta de 4 times 10^-3 rad.
Determinar :
a) os eixos principais e as deformações principais;
b) a máxima deformação de cisalhamento.

Passo 1

O enunciado descreve um estado plano de deformações em que um quadrado de lados iguais a 10,mm sofre extensão horizontal de 4,mum, nenhuma deformação vertical e a alteração do ângulo reto no vértice inferior esquerdo de 4times10^-3,rad. O conteúdo é transformação de tensores de deformação: precisamos obter os componentes varepsilonx, varepsilony, gammaxy, montar o tensor, achar suas deformações principais e direção dos eixos principais, e finalmente a máxima deformação de cisalhamento.

Passo 2

Calcular as componentes de deformação de engenharia:
varepsilonx = De<a LxLx = 4,mum10,mm = 4times10^-3,mm10,mm =4times10^-4,
varepsilony=0, e a deformação de cisalhamento de engenharia é igual à mudança do ângulo reto:
gammaxy=4times10^-3

Passo 3

Escrever o tensor de deformação e calcular os valores próprios (deformações principais) pela fórmula
varepsilon1,2 =varepsilonx+varepsilony2 pmraizl(varepsilonx-varepsilony2r)^2 +l(gammaxy2r)^2
Aqui tfracvarepsilonx+varepsilony2=2times10^-4, tfracvarepsilonx-varepsilony2=2times10^-4 e tfracgammaxy2=2times10^-3. Logo
raiz(2times10^-4)^2+(2times10^-3)^2 =raiz4,04times10^-6 =2,01times10^-3,
resultando em
varepsilon1=2times10^-4+2,01times10^-3=2,21times10^-3, varepsilon2=2times10^-4-2,01times10^-3=-1,81times10^-3

Passo 4

Determinar o ângulo thetap entre o eixo x original e o eixo principal associado a varepsilon1, usando
tan2thetap = gammaxyvarepsilonx-varepsilony = 4times10^-34times10^-4=10,
2thetap=arctan(10)approx84,3^circ, logo
thetapapprox42,1^circ

Passo 5

A máxima deformação de cisalhamento de engenharia em plano é a diferença entre as deformações principais:
gammamax=varepsilon1-varepsilon2 =2,21times10^-3-(-1,81times10^-3) =4,02times10^-3

Resposta

a) Eixos principais girados de aproximadamente 42,1^circ em relação ao eixo x.
Deformações principais:
varepsilon1=2,21times10^-3, varepsilon2=-1,81times10^-3
b) Máxima deformação de cisalhamento:
gammamax=4,02times10^-3

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