(2) Calcule o valor dos seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1raiz[3]x+7-2x-1
Note que, ao fazermos xto1, o numerador e o denominador vão para zero, gerando a indeterminação tfrac00. Para eliminar essa indeterminação, vamos usar a fatoração da diferença de cubos, pois l(raiz[3]x+7r)^3 = x+7 e 2^3=8.

Passo 2

Defina
a = raiz[3]x+7, b = 2
Então
a^3 - b^3 = (x+7) - 8 = x-1
e pela identidade
a^3 - b^3 = (a-b),(a^2 + a,b + b^2)
vem
a-bx-1 = a-ba^3-b^3 = 1a^2 + a,b + b^2
Substituindo de volta,
raiz[3]x+7-2x-1 = 1l(raiz[3]x+7r)^2 + 2,raiz[3]x+7 + 4

Passo 3

Agora a expressão não é mais indeterminada e podemos fazer xto1. Como
raiz[3]1+7 = 2,
temos
l(raiz[3]x+7r)^2 + 2,raiz[3]x+7 + 4 ;xrightarrow[xto1]; 2^2 + 2cdot2 + 4 = 12
Portanto
limxto1raiz[3]x+7-2x-1 = 112

Resposta

112

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