(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime=e^ty^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é y^prime = e^ty^2+1 . Aqui, estamos lidando com uma EDO do primeiro grau e veremos como usar a técnica de separação de variáveis para achar a solução geral. Para isso, precisamos rearranjar a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com t do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Multiplicamos ambos os lados da equação por y^2 + 1 para isolar y^prime :
y^2 + 1 cdot dy = e^t cdot dt
Isso nos dá:
(y^2 + 1) , dy = e^t , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral do lado esquerdo em relação a y e a integral do lado direito em relação a t são:
integral (y^2 + 1) , dy = integral e^t , dt
Calculando as integrais:
y^33 + y = e^t + C
Onde C é a constante de integração que representa todas as possíveis soluções da EDO.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^33 + y = e^t + C

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