Dados A=[1, infty), B=(-infty,-2) cup(1, infty) e C=[-3,4], assinale falso ou verdadeiro
( ) A-B=emptyset
( ) (A cup B) cap C=[1,4]
( ) CR B=[-2,1]
( ) A cap B cap C=(1,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de conjuntos juntos! Aqui a gente está trabalhando com operações de conjuntos como união, interseção e diferença. Vamos precisar entender o que cada conjunto representa e como essas operações funcionam para determinar se as afirmações são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação ( ) A - B = emptyset .
O que significa A - B : Isso representa todos os elementos que estão em A mas não estão em B .
Conjuntos dados:
  • A = [1, infty) significa todos os números maiores ou iguais a 1.
  • B = (-infty, -2) cup (1, infty) significa todos os números menores que -2 ou maiores que 1.
Vamos ver o que está em A : Todos os números de 1 em diante.
Agora, o que está em B : Números menores que -2 e também números maiores que 1.
Calculando A - B : Pegamos os números em A (>=1) e removemos aqueles que também estão em B (também >1). Então, estamos removendo todos os números >=1 de A , o que deixa sem nada.
Resultado: A - B = emptyset (o conjunto vazio).

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação: ( ) (A cup B) cap C = [1,4] .
Primeiro, entender A cup B : A união de A e B inclui todos os elementos que estão em A ou em B .
  • A = [1, infty)
  • B = (-infty, -2) cup (1, infty)
Então, A cup B = (-infty, -2) cup [1, infty) (porque [1, ∞) já cobre (1, ∞) de B ).
Agora, (A cup B) cap C : A interseção de (-infty, -2) cup [1, infty) com C = [-3,4] .
  • A parte (-infty, -2) de A cup B dentro de C é [-3, -2) .
  • A parte [1, infty) dentro de C é [1,4] .
Então, a interseção completa é [-3, -2) cup [1,4] , que não é igual a [1,4] .
Resultado: A afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos para a terceira afirmação: ( ) CR B = [-2,1] .
O que significa CR B : Isso normalmente representa a diferença simétrica entre C e B , que são os elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos.
Conjuntos dados:
  • C = [-3,4]
  • B = (-infty, -2) cup (1, infty)
Diferença simétrica C triang<= B : Elementos que estão em C ou em B , mas não em ambos.
  • Elementos em C mas não em B : [-3, -2) cup [1,4] (porque em B estão além de -2 e acima de 1).
  • Elementos em B mas não em C : (-infty, -3) cup (4, infty) .
Combinar essas partes que estão em apenas um dos conjuntos dá [-3, -2) cup [1,4] cup (-infty, -3) cup (4, infty) , que não é igual a [-2,1] .
Resultado: A afirmação é falsa.

Passo 5

Finalmente, vamos analisar a quarta afirmação: ( ) A cap B cap C = (1,4] .
Intersecção de A , B e C : Queremos os elementos que estão em todos os três conjuntos ao mesmo tempo.
  • A = [1, infty)
  • B = (-infty, -2) cup (1, infty)
  • C = [-3,4]
Primeiro, A cap B : [1, infty) cap ((-∞, -2) cup [1, ∞)) = [1, ∞) .
**Agora, [1, ∞) cap C = [1,4] .
Mas a afirmação diz (1,4] , que exclui o número 1. No entanto, tanto A quanto B incluem o 1, então o 1 está na interseção.
Resultado: A afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso
  3. Falso
  4. Falso

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