Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, temos a série de potências
Conteúdo: convergência de séries de potências e teste da razão. Vamos usar cálculo de limite (teste da razão) para achar o raio e depois checar o que rola em e .
Passo 2
Identificando o termo geral (para , já que dá divisão por zero, mas isso não mexe no teste da razão):
Lembra que basta ver o comportamento de quando .
Passo 3
Aplicando o teste da razão:
Para convergir no interior, precisamos de L<1, ou seja
|tfracx2|<1 Longrightarrow |x|<2
Logo o raio de convergência é R=2.
Passo 4
Agora testa os extremos:
Em x=2: o termo vira tfrac1^nn e a série sum1/n é a harmônica, que diverge.
Em x=-2: o termo vira tfrac(-1)^nn e a série alternada sum(-1)^n/n converge (critérios de Leibniz).
Resposta
Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: -2<= x<2 (converge condicionalmente em x=-2 e diverge em x=2).