Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (x / 2)^nn

Passo 1

Beleza, temos a série de potências
sumn=0^infty(x/2)^nn
Conteúdo: convergência de séries de potências e teste da razão. Vamos usar cálculo de limite (teste da razão) para achar o raio e depois checar o que rola em x=2 e x=-2.

Passo 2

Identificando o termo geral (para n>=1, já que n=0 dá divisão por zero, mas isso não mexe no teste da razão):
an = (x/2)^nn
Lembra que basta ver o comportamento de an quando ntoinfty.

Passo 3

Aplicando o teste da razão:
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|(x/2)^n+1/(n+1)(x/2)^n/n| = limntoinfty|tfracx2cdottfracnn+1| = |tfracx2|
Para convergir no interior, precisamos de L<1, ou seja
|tfracx2|<1 Longrightarrow |x|<2
Logo o raio de convergência é R=2.

Passo 4

Agora testa os extremos:
  • Em x=2: o termo vira tfrac1^nn e a série sum1/n é a harmônica, que diverge.
  • Em x=-2: o termo vira tfrac(-1)^nn e a série alternada sum(-1)^n/n converge (critérios de Leibniz).

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: -2<= x<2 (converge condicionalmente em x=-2 e diverge em x=2).

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