(2) Calcule o valor dos seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1^{+}} \frac{2 x+1}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede o limite unilateral
limxto -1^+2x+1x^2+x,
que é um limite de função racional em que o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo. Vamos usar fatoração para estudar o comportamento do denominador e, em seguida, analisar o sinal de toda a expressão.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2+x = x(x+1)
Logo a função fica
2x+1x^2+x = 2x+1x(x+1)
Para ver se o numerador se anula em x=-1, calculamos
2(-1)+1 = -2+1 = -1 neq 0
Portanto, perto de x=-1 o numerador é aproximadamente -1, enquanto o denominador tende a zero.

Passo 3

Quando xto -1^+, temos
,x+1to 0^+ (pois se aproxima de zero vindo da direita)
e
,xto -1 (que é um número negativo).
Logo
x(x+1);approx;(-1)cdot(0^+);=;0^-(denominador tende a 0 pelo lado negativo)

Passo 4

Como o numerador tende a -1 (valor constante negativo) e o denominador tende a 0^-, o quociente tende a
negativonegativo muito pequeno = positivo muito grande
Isto é, a função cresce sem limite, aproximando-se de +infty.

Resposta

limxto -1^+2x+1x^2+x = +infty

Exercícios relacionados