Um modelo para as populações de duas espécies de animais que interagem é dado pelas equações de Lotka-Volterra
d xd t & =k1 x(alpha-x) d yd t & =k2 x y
em que k1, k2, alpha são constantes positivas. Encontre x e y em função de t, k1, k2, alpha e das populações iniciais x0 e y0 no instante 0 .

Passo 1

O enunciado dá o sistema de Lotka–Volterra
d xd t = k1,x,(alpha - x), d yd t = k2,x,y,
com k1,k2,alpha>0 e condições iniciais x(0)=x0, y(0)=y0.
O que precisamos:
– Reconhecer que a primeira equação é a equação logística para x(t).
– Resolver essa logística por separação de variáveis e determinar a constante a partir de x0.
– Em seguida, usar x(t) na segunda equação, que é linear em y, e integrar por separação de variáveis para obter y(t).

Passo 2

Resolver a logística
d xd t=k1,x(alpha-x)
por separação de variáveis:
dxx(alpha-x)=k1,dt
Fazendo frações parciais nota-se que
1x(alpha-x) =1alphal(1x+1alpha-xr)
Integramos ambos os lados:
1alphalnl|xalpha-xr| = k1,t + C1
Exponentiando e isolando x obtemos
xalpha-x = A,e^k1alpha,t,
onde A=e^alpha C1. Em t=0 vale x(0)=x0, logo
x0alpha-x0=A Longrightarrow A=x0alpha-x0
Portanto
x(t) =alpha,A,e^k1alpha,t1+A,e^k1alpha,t =alpha1+alpha-x0x0,e^-,k1alpha,t

Passo 3

Agora usamos x(t) em
d yd t=k2,x(t),y
Separe variáveis:
dyy=k2,x(t),dt Longrightarrow lny(t)y0 =k2integral0^tx(tau),dtau
Calculamos
integral0^tx(tau),dtau =integral0^talpha1+C,e^-k1alpha,tau,dtau com;C=alpha-x0x0
Fazendo a substituição u=e^k1alpha,tau chega-se a
integral0^tx(tau),dtau =1k1ln!l(e^k1alpha,t+C1+Cr)
Logo
lny(t)y0 =k2k1 ln!l(e^k1alpha,t+C1+Cr) ;Longrightarrow; y(t) =y0, l(e^k1alpha,t+C1+Cr)^!k2/k1

Passo 4

Substituindo C=(alpha-x0)/x0 e 1+C=alpha/x0, as soluções finais ficam:
x(t) =alpha1+alpha-x0x0,e^-,k1alpha,t =alpha,x0,e^k1alpha,talpha - x0 + x0,e^k1alpha,t,
y(t) =y0, gl(e^k1alpha,t+dfracalpha-x0x0 dfracalphax0gr)^!k2/k1 =y0, l(x0,e^k1alpha,t + alpha - x0alphar)^!k2/k1

Resposta

boxed x(t) =alpha1+alpha-x0x0,e^-,k1alpha,t , y(t) =y0, l(x0,e^k1alpha,t + alpha - x0alphar)^!k2/k1

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