Resolva as EDOs a seguir:
y^prime=xy+yx+1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
y' = xy + yx + 1
Como o lado direito é função homogênea de x e y (grau zero nos termos tfracxy e tfracyx), vamos usar a substituição
v = yx,
isto é, y = v x.

Passo 2

Derivando y = v x em relação a x
y' = v + xdvdx
Substituindo em
y' = xy + yx + 1
temos
v + xdvdx = xv x + v xx + 1 = 1v + v + 1
Isolando tfracdvdx resulta
xdvdx = 1v + 1 Longrightarrow dvdx = 1+vv,x

Passo 3

Para separar variáveis escrevemos
dvdx = 1+vv,x Longrightarrow v1+v,dv = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral v1+v,dv = integral dxx
No lado esquerdo note que tfracv1+v=1-tfrac11+v, logo
integral!1,dv - integral11+v,dv = v - lnlvert1+vrvert
No direito
integraldxx = lnlvert xrvert + C
Assim
v - lnlvert1+vrvert = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando à variável y por v=y/x, obtemos
yx - lnllvert1+yxrrvert = lnlvert xrvert + C
Como
lnlvert1+tfracyxrvert + lnlvert xrvert = lnlvert x+yrvert,
podemos reescrever implicitamente como
yx - lnlvert x+yrvert = C

Resposta

yx - lnlvert x+yrvert = C,
que é a forma implícita da solução geral.

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