Resolva as EDOs a seguir:
y^prime=y^2+5 y.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = y^2 + 5y
e pede a solução geral. O conteúdo é separação de variáveis e identificação de soluções constantes (pontos de equilíbrio).

Passo 2

Antes de separar variáveis, encontramos as soluções constantes fazendo y'=0, ou seja,
y^2+5y=0
y(y+5)=0
logo y=0 e y=-5 são soluções constantes da EDO.

Passo 3

Para as demais soluções, supondo yneq0 e yneq-5, separamos variáveis:
dydx = y(y+5) Longrightarrow dyy(y+5) = dx

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1y(y+5) = Ay + By+5
1 = A(y+5) + By ;Rightarrow; A+B = 0,; 5A = 1 ;Rightarrow; A = tfrac15,; B = -tfrac15
Portanto
1y(y+5) = 15l(1y-1y+5r)

Passo 5

Integramos em ambos os lados:
integral dyy(y+5) = integral dx Longrightarrow 15integrall(1y-1y+5r)dy = x + C

Passo 6

Calculando a integral:
15l(ln|y| - ln|y+5|r) = x + C
Multiplicando por 5:
lnl|yy+5r| = 5x + C1

Passo 7

Aplicando exponenciação e absorvendo o sinal e a constante em K:
yy+5 = K e^5x
Resolvendo para y:
y = K e^5x(y+5) ;Longrightarrow; yl(1 - K e^5xr) = 5K e^5x ;Longrightarrow; y(x) = 5K e^5x1 - K e^5x,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

As soluções da EDO são
y(x)=0, y(x)=-5,
e, para yneq0,-5,
y(x)=5K e^5x1 - K e^5x,
com KinR constante de integração.

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