A tabela abaixo dá a quantidade de proteína, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rações e .
Ração Proteína Carboidrato Gordura
0,1 0,2 0,2
0,1 0,2 0,4
0,1 0,1 0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rações deve ser dada a um animal que precisa receber de proteína, 1,1 Kg de carboidrato e de gordura?
(b) Qual o custo mínimo para alimentar um animal, sabendo-se que os preços das rações e são R$1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente?

Passo 1

O enunciado fornece três tipos de ração R1, R2, R3 com as quantidades de proteína, carboidrato e gordura por kg. Precisamos determinar quantos kg de cada ração (x,y,z) satisfazem as necessidades de 0,7,kg de proteína, 1,1,kg de carboidrato e 1,8,kg de gordura. Vamos usar resolução de sistema linear.

Passo 2

Definindo
x = kg de R1, y = kg de R2, z = kg de R3,
as equações são:
0,1x + 0,1y + 0,1z = 0,7,
0,2x + 0,2y + 0,1z = 1,1,
0,2x + 0,4y + 0,2z = 1,8

Passo 3

Multiplicando todas as equações por 10 para ficar com coeficientes inteiros, obtemos o sistema:
x + y + z = 7,
2x + 2y + z = 11,
2x + 4y + 2z = 18

Passo 4

Para isolar z calculamos a diferença entre a segunda equação e o dobro da primeira:
(2x+2y+z) - 2(x+y+z) = 11 - 14 Longrightarrow -z = -3 Longrightarrow z = 3
Substituindo z=3 em x+y+z=7 x+y=4. E em 2x+4y+2z=18 2x+4y=12 ou x+2y=6. Resolviendo:
x + y = 4, x + 2y = 6, Longrightarrow y = 2,; x = 2

Passo 5

Concluímos que a quantidade de cada ração é
x = 2 kg de R1, y = 2 kg de R2, z = 3 kg de R3

Passo 6

O custo total mínimo é
1,50x + 3,00y + 2,00z = 1,50cdot2 + 3,00cdot2 + 2,00cdot3 = 3 + 6 + 6 = 15

Resposta

(a) 2,kg de R1, 2,kg de R2 e 3,kg de R3.
(b) Custo mínimo de R$ 15,00.

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