Questão 4.
Resolva a equação diferencial
encontrando um fator integrante apropriado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por meio de um fator integrante. O conteúdo aqui é reconhecimento de equação não exata e busca de um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa só de
, verificamos
que é função apenas de
. Logo,
Passo 4
Multiplicando a ODE por
, obtemos
Agora definimos as novas funções
que satisfazem
e
, ou seja, a forma é exata.
Passo 5
Para a equação exata
, existe
tal que
Integramos em
:
Depois, igualamos
a
:
Integrando em
:
Logo,