Questão 4.

Resolva a equação diferencial
cos x d x+(1+2y) sen x d y=0
encontrando um fator integrante apropriado. ln (sen x)+y+ln y^2=c

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
cos x,dx + l(1 + 2yr)sin x,dy = 0
por meio de um fator integrante. O conteúdo aqui é reconhecimento de equação não exata e busca de um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = cos x, N(x,y) = l(1 + 2yr)sin x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = l(1 + 2yr)cos x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu que dependa só de x, verificamos
partial Mpartial y - partial Npartial xN = 0 - l(1 + tfrac2yr)cos xl(1 + tfrac2yr)sin x = -cot x,
que é função apenas de x. Logo,
mu(x) = exp!l(integral -cot x,dxr) = exp!l(-ln|sin x|r) = 1sin x

Passo 4

Multiplicando a ODE por mu(x)=1/sin x, obtemos
cos xsin x,dx + l(1 + 2yr),dy = 0 Long<=ftrightarrow cot x,dx + dy + 2y,dy = 0
Agora definimos as novas funções
widetilde M(x,y) = cot x, widetilde N(x,y) = 1 + 2y,
que satisfazem partialwidetilde M/partial y = 0 e partialwidetilde N/partial x = 0, ou seja, a forma é exata.

Passo 5

Para a equação exata widetilde M,dx + widetilde N,dy=0, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = cot x, partial Phipartial y = 1 + 2y
Integramos em x:
Phi(x,y) = integral cot x,dx = ln|sin x| + h(y)
Depois, igualamos partial Phi/partial y a 1 + 2/y:
ddyl(ln|sin x| + h(y)r) = h'(y) = 1 + 2y
Integrando em y:
h(y) = integrall(1 + 2yr)dy = y + 2ln|y| + C1
Logo,
Phi(x,y) = ln|sin x| + y + 2ln|y|

Resposta

ln(sin x) + y + ln(y^2) = C

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