Calcule o valor de m underset para que xrightarrow[] o volume do para<=<=pípedo determinado pelos vetores u=í i+2 j+m k, v=i-j+k e w=-j+m k seja igual a 11 .

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de m tal que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
u = i + 2j + mk, v = i - j + k, w = -j + mk
seja igual a 11. O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto, ou seja, pelo valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de u,v,w.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada vetor e montamos a matriz cujo determinante é o produto misto:
u = (1,,2,,m), v = (1,,-1,,1), w = (0,,-1,,m)
A matriz é
A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & -1 m & 1 & m

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-1 & -1 1 & m -1cdotdet2 & -1 m & m +0cdot(dots)
Agora cada menor:
det-1 & -1 1 & m = (-1)cdot m - (-1)cdot1 = -m + 1,
det2 & -1 m & m = 2cdot m - (-1)cdot m = 2m + m = 3m
Logo
det(A) = (-m + 1) - (3m) = 1 - 4m

Passo 4

O volume é l|det(A)r|, e queremos
l|1 - 4mr| = 11
Isso gera duas equações:
1 - 4m = 11 Longrightarrow -4m = 10 Longrightarrow m = -tfrac52,
1 - 4m = -11 Longrightarrow -4m = -12 Longrightarrow m = 3

Resposta

m = 3 ou m = -tfrac52.

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