Determine um vetor ortogonal ao plano formado pelos pontos A(3,0,0), B(0,3,0) e C(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal ao plano que passa por A(3,0,0), B(0,3,0) e C(1,2,-1).
Conteúdo: para achar um vetor normal a um plano dado por três pontos, basta formar dois vetores no plano e calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Escolhemos
AB=B-A=(0-3,;3-0,;0-0)=(-3,3,0)
e
AC=C-A=(1-3,;2-0,;-1-0)=(-2,2,-1).

Passo 3

O produto vetorial ABtimesAC é dado pelo determinante
ABtimesAC = i & j & k -3 & 3 & 0 -2 & 2 & -1 = (3cdot(-1)-0cdot2),i -((-3)cdot(-1)-0cdot(-2)),j +((-3)cdot2-3cdot(-2)),k
Calculando cada componente:
i!:3cdot(-1)-0= -3, j!:-(3-0)= -3, k!:-6+6=0
Logo
ABtimesAC=(-3,-3,0)

Passo 4

Qualquer múltiplo não nulo de (-3,-3,0) é normal ao plano. Para simplificar, podemos usar
(1,1,0)
ou, multiplicando por -1,
(3,3,0).

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano é (3,3,0).

Exercícios relacionados