Exercício 4. Calcule a integral:
integral e^2 te^2 t+2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^2te^2t+2,dt. O conteúdo envolvido é integração por substituição, pois percebemos que o numerador é a derivada (até constante) do denominador.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = e^2t + 2. Dessa forma, diferenciando temos du = 2e^2t,dt, ou seja, e^2t,dt = tfrac12,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos integral e^2te^2t+2,dt = integral 1u cdot 12,du = 12integral 1u,du. Integrando, ficamos com tfrac12ln|u| + C.

Passo 4

Substituindo de volta u = e^2t+2, a solução final é 12lnl(e^2t+2r) + C, lembrando que e^2t+2>0 dispensa o valor absoluto.

Resposta

12lnl(e^2t+2r) + C

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