Calcule os valores de t para os quais a curvatura da curva r(t)=(t, t^2, 1) seja máxima. O que ocorre com a curvatura se t longrightarrow infty ? Resp.: t=0, k(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede os valores de t que maximizam a curvatura da curva
r(t)=(t,,t^2,,1)
e o comportamento de kappa(t) quando ttoinfty.
O conteúdo é geometria diferencial de curvas, e vamos usar a fórmula
kappa(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3,

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras e segundas de r(t):
r'(t)=(1,,2t,,0), r''(t)=(0,,2,,0)

Passo 3

Determinamos o produto vetorial
r'(t)timesr''(t) =(1,,2t,,0)times(0,,2,,0) =(0,,0,,1cdot2 - 2tcdot0) =(0,,0,,2)

Passo 4

A magnitude do numerador é
|r'(t)timesr''(t)|=raiz0^2+0^2+2^2=2
E a norma de r'(t) é
|r'(t)|=raiz1+(2t)^2=raiz1+4t^2

Passo 5

Substituindo em kappa(t) vem
kappa(t) =2l(raiz1+4t^2r)^3 =2(1+4t^2)^3/2

Passo 6

Para maximizar kappa(t) basta minimizar o denominador (1+4t^2)^3/2.
Como 1+4t^2>=1 para todo t e é mínimo em t=0, concluímos que
kappa(t) atin>= seu máximo em t=0, á
com
kappa(0)=21^3/2=2

Passo 7

Quando ttoinfty temos 1+4t^2toinfty, logo
kappa(t)=2(1+4t^2)^3/2longrightarrow0

Resposta

t=0, com kappa(0)=2. Quando ttoinfty, kappa(t)to0.

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