Sejam p(t) e q(t) funçoes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=-4 t ?
y(t)=-4 t^2+2 t^4.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
t^2y'' + p(t),y' + q(t),y = -4t,
sabendo que as soluções fundamentais da homogênea
t^2y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
são y1(t)=t e y2(t)=t^2. Para testar se
y(t)=-4t^2+2t^4
é solução particular, primeiro precisamos descobrir p(t) e q(t) usando y1 e y2.

Passo 2

Substituímos y1(t)=t na homogênea: temos y1'=1 e y1''=0, então
t^2cdot0 + p(t)cdot1 + q(t)cdot t = 0 Longrightarrow p(t) + t,q(t)=0 Longrightarrow p(t)=-t,q(t)
Agora substituímos y2(t)=t^2 (onde y2'=2t e y2''=2):
t^2cdot2 + p(t)cdot2t + q(t)cdot t^2 = 0 Longrightarrow 2t^2 + 2t,p(t) + t^2q(t)=0
Dividindo por t e usando p(t)=-t,q(t) obtemos
2t + 2p(t) + t,q(t)=0 Longrightarrow 2t +2(-t,q(t)) + t,q(t)=0 Longrightarrow 2t -t,q(t)=0 Longrightarrow q(t)=2
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q(t)=2, p(t)=-t,q(t)=-2t

Passo 3

Agora testamos
y(t)=-4t^2+2t^4
na equação completa. Calculamos
y'=-8t+8t^3, y''=-8+24t^2
Então
t^2y'' = -8t^2+24t^4, p(t)y' = (-2t)(-8t+8t^3)=16t^2-16t^4, q(t)y = 2(-4t^2+2t^4)=-8t^2+4t^4
Somando tudo:
t^2y'' + p(t)y' + q(t)y =(-8t^2+24t^4) + (16t^2-16t^4) +(-8t^2+4t^4) =0cdot t^2 +12t^4 =12t^4
Isso não é igual a -4t, que é o lado direito desejado.

Passo 4

Como ao substituir em
t^2y'' + p(t)y' + q(t)y
obtivemos 12t^4 em vez de -4t, concluímos que
y(t)=-4t^2+2t^4
não satisfaz a equação e portanto não é solução particular.

Resposta

A função y(t)=-4t^2+2t^4 não é uma solução particular da equação dada.

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