Escreva a soma
como uma única integral dupla sobre uma região (de tipo I) e calcule a integral.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente combinar duas integrais duplas em uma única integral dupla sobre uma região específica (do tipo I) e, depois, calcular essa integral. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente como identificar e descrever a região de integração no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas integrais que temos:
Cada uma dessas integrais está calculando a área sob a superfície em diferentes regiões do plano xy.
Passo 3
Vamos entender cada integral separadamente. Na primeira integral:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a . Isso define uma região triangular no plano xy.
Passo 4
Na segunda integral:
Aqui, varia de 1 a 3, e para cada , varia de 0 a . Essa também define uma região triangular, mas posicionada de forma diferente no plano xy.
Passo 5
Para combinar essas duas integrais em uma única integral dupla, precisamos identificar a região total de integração que abrange ambas as áreas. Vamos visualizar isso:
Primeira região: e .
Segunda região: e .
Ao unir essas duas regiões, obtemos uma região única onde varia de 0 a 3, mas a função limite de muda no ponto .
Passo 6
Então, podemos definir a função limite [f(y)) da seguinte maneira:
Isso significa que, para vai até , e para entre 1 e 3, vai até .
Passo 7
Com isso, podemos escrever a soma das duas integrais como uma única integral dupla sobre a região unificada:
integral0^3 integral0^f(y) e^x^2 , dx , dy
Onde f(y) é a função que definimos no passo anterior.
Passo 8
Agora, vamos tentar calcular essa integral. Primeiro, integramos em relação a x :
integral0^f(y) e^x^2 , dx
Infelizmente, a função e^x^2 não possui uma antiderivada que possa ser expressa usando funções elementares conhecidas. Isso significa que não podemos encontrar uma expressão fechada para essa integral usando funções básicas de cálculo.
Passo 9
No entanto, sabemos que essa integral está relacionada à função erro imaginária ( erfi(x) ), que é usada para expressar integrais de e^x^2 . A antiderivada é:
integral e^x^2 , dx = raizpi2 , erfi(x) + C
Onde C é a constante de integração.
Passo 10
Aplicando os limites de integração, temos:
raizpi2 [ erfi(f(y)) - erfi(0) ]
Sabemos que erfi(0) = 0 , então simplifica para:
raizpi2 , erfi(f(y))
Passo 11
Agora, precisamos integrar isso em relação a y :
integral0^3 raizpi2 , erfi(f(y)) , dy
Essa integral também não pode ser expressa em termos de funções elementares, então, na prática, precisaríamos usar métodos numéricos para calcular seu valor aproximado.
Resposta
Não é possível expressar a soma das integrais como uma integral dupla de forma fechada usando funções elementares. Portanto, a combinação das integrais resulta em:
integral0^3 integral0^f(y) e^x^2 , dx , dy
Onde:
f(y) = 2y, & 0 <= y <= 1 3 - y, & 1 < y <= 3
Para calcular o valor dessa integral, seria necessário utilizar métodos de integração numérica.