Sejam
e
funçoes contínuas em
. Sabendo-se que
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, para
, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação
?
.
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
sabendo que as soluções fundamentais da homogênea
são
e
. Precisamos achar uma solução particular
da eq. não-homogênea.
Passo 2
Como
e
satisfazem a homogênea, podemos determinar
e
. Para
:
Para
:
Substituindo
dá
Logo a eq. fica
Passo 3
Aplicamos variação de parâmetros em
com
,
,
e
,
. O Wronskiano é
As fórmulas são
Calculando:
Integrando:
Passo 4
A solução particular é
Como
já pertence ao espaço das soluções homogêneas, podemos usar
como uma forma mais simples de particular.
Resposta
Uma solução particular é
logo
não satisfaz a equação não-homogênea.