Sejam p(t) e q(t) funçoes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=-4 t ?
y(t)=-23 t.

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis
t^2y''+p(t),y'+q(t),y=-4t,
sabendo que as soluções fundamentais da homogênea
t^2y''+p(t),y'+q(t),y=0
são y1(t)=t e y2(t)=t^2. Precisamos achar uma solução particular yp(t) da eq. não-homogênea.

Passo 2

Como y1 e y2 satisfazem a homogênea, podemos determinar p(t) e q(t). Para y=t:
y'=1, y''=0
t^2cdot0+p(t)cdot1+q(t)cdot t=0;Longrightarrow;p(t)+t,q(t)=0;Longrightarrow;p(t)=-t,q(t)
Para y=t^2:
y'=2t, y''=2
t^2cdot2+p(t)cdot2t+q(t)cdot t^2=0;Longrightarrow;2t^2+2t,p(t)+t^2q(t)=0
Substituindo p(t)=-tq(t)
2t^2-2t^2q(t)+t^2q(t)=0;Longrightarrow;2-q(t)=0;Longrightarrow;q(t)=2, p(t)=-2t
Logo a eq. fica
y''-2ty'+2t^2y=-4t

Passo 3

Aplicamos variação de parâmetros em
y''+P(t)y'+Q(t)y=R(t),
com P=-2/t, Q=2/t^2, R=-4/t e y1=t, y2=t^2. O Wronskiano é
W=y1y'2-y'1y2=tcdot(2t)-1cdot t^2=t^2
As fórmulas são
u1'=-R,y2W, u2'=R,y1W
Calculando:
u1'=--4/tcdot t^2t^2=4t, u2'=-4/tcdot tt^2=-4t^2
Integrando:
u1(t)=integral4t,dt=4ln t, u2(t)=integral-4t^2,dt=4t

Passo 4

A solução particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =4ln tcdot t+4tcdot t^2 =4tln t+4t
Como 4t já pertence ao espaço das soluções homogêneas, podemos usar
yp(t)=4t,ln t
como uma forma mais simples de particular.

Resposta

Uma solução particular é
yp(t)=4tln t,
logo y(t)=-tfrac23t não satisfaz a equação não-homogênea.

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