A curva r:(0, infty) longrightarrow R^3 dada por r(t)=(t, 1+t^2t, -1+t^2t) é plana? Dica: Mostre que sua torção é nula.

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r:(0,infty)toR^3
vec r(t)=l(t,;1+t^2t,;-1+t^2tr)
e pede para mostrar que ela é plana.
Em geometria de curvas, a torção tau(t) é
tau(t) = l(vec r'(t)timesvec r''(t)r)cdotvec r'''(t) l|vec r'(t)timesvec r''(t)r|^2
Se tau(t)=0 para todo t, então a curva está contida em um plano.

Passo 2

Calculemos as derivadas até a terceira ordem.
vec r'(t) =l(1,;ddt1+t^2t,;ddt-1+t^2tr) =l(1,;1-tfrac1t^2,;1+tfrac1t^2r),
vec r''(t) =l(0,;ddt(1-tfrac1t^2),;ddt(1+tfrac1t^2)r) =l(0,;2,t^-3,;-2,t^-3r),
vec r'''(t) =l(0,;ddt(2t^-3),;ddt(-2t^-3)r) =l(0,;-6,t^-4,;6,t^-4r)

Passo 3

Formemos o produto vetorial vec r'(t)timesvec r''(t).
vec r'(t)timesvec r''(t) = i&j&k 1&1-tfrac1t^2&1+tfrac1t^2 0&2,t^-3&-2,t^-3 =l(-tfrac4t^3,;tfrac2t^3,;tfrac2t^3r)

Passo 4

Agora o produto misto no numerador da torção:
l(vec r'timesvec r''r)!cdot!vec r''' = l(-tfrac4t^3,tfrac2t^3,tfrac2t^3r) cdot l(0,-6,t^-4,6,t^-4r) = 2t^3l(-tfrac6t^4+tfrac6t^4r)=0
Além disso,
l|vec r'timesvec r''r|^2 =16+4+4t^6=24t^6neq0,
logo tau(t)=0 para todo t>0.

Passo 5

Como a torção tau(t) é identicamente zero, concluímos que a curva está contida num mesmo plano em R^3.

Resposta

Sim. A torção tau(t) é zero para todo t, logo a curva é planar.

Exercícios relacionados