A curva
dada por
é plana? Dica: Mostre que sua torção é nula.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para mostrar que ela é plana.
Em geometria de curvas, a torção é
Em geometria de curvas, a torção
Se
tau(t)=0 para todo
t , então a curva está contida em um plano.
Passo 2
Calculemos as derivadas até a terceira ordem.
Passo 3
Formemos o produto vetorial
vec r'(t)timesvec r''(t) .
Passo 4
Agora o produto misto no numerador da torção:
Além disso,
logo
tau(t)=0 para todo
t>0 .
Passo 5
Como a torção
tau(t) é identicamente zero, concluímos que a curva está contida num mesmo plano em
R^3 .
Resposta
Sim. A torção
tau(t) é zero para todo
t , logo a curva é planar.