Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y)=ln (x+raizx^2+y^2), para (x0, y0)=(3,-4)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=lnl(x+raizx^2+y^2r)
no ponto (x0,y0)=(3,-4). Vamos usar a regra da cadeia para derivar ln(u) com u=x+raizx^2+y^2.

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Seja
u(x,y)=x+raizx^2+y^2
Então, pela regra da cadeia,
partial fpartial x =1u(x,y);partial upartial x =1x+raizx^2+y^2l(1+xraizx^2+y^2r)

Passo 3

Calcular partial fpartial y. Ainda com u(x,y)=x+raizx^2+y^2, temos
partial fpartial y =1u(x,y);partial upartial y =1x+raizx^2+y^2;yraizx^2+y^2

Passo 4

Avaliar em (x,y)=(3,-4). Primeiro note que raiz3^2+(-4)^2=5 e 3+5=8. Assim,
partial fpartial x(3,-4) =1+358 =tfrac858 =15,
partial fpartial y(3,-4) =tfrac-458 =-440 =-110

Resposta

partial fpartial x(3,-4)=15
partial fpartial y(3,-4)=-110

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