Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y)=raizsen^2(x)+cos ^2(y), para (x0, y0)=(0, pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raizsen^2(x)+cos^2(y)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em (x0,y0)=(0,pi). Para isso, vamos usar a regra da cadeia, definindo
u(x,y)=sen^2(x)+cos^2(y),
de modo que f(x,y)=raizu(x,y)=u(x,y)^1/2.

Passo 2

Calculamos primeiro partial f/partial x. Pela regra da cadeia:
partial fpartial x =12,raizu(x,y);partial upartial x
Como
partial upartial x =partialpartial xl(sen^2(x)+cos^2(y)r) =2,sen(x)cos(x) =sen(2x),
segue que
partial fpartial x =sen(2x)2,raizsen^2(x)+cos^2(y)

Passo 3

Agora partial f/partial y. Ainda pela cadeia:
partial fpartial y =12,raizu(x,y);partial upartial y
E
partial upartial y =partialpartial yl(sen^2(x)+cos^2(y)r) =-2,cos(y)sen(y) =-sen(2y)
Portanto
partial fpartial y =-sen(2y)2,raizsen^2(x)+cos^2(y)

Passo 4

Avaliamo em (0,pi). Primeiro o denominador:
sen^2(0)+cos^2(pi)=0^2+(-1)^2=1,
logo raizcdot=1. Para o numerador de partial f/partial x:
sen(2cdot0)=sen(0)=0. Para partial f/partial y:
sen(2pi)=0. Assim em ambos os casos o resultado é zero.

Resposta

partial fpartial x(0,pi)=0, partial fpartial y(0,pi)=0

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