Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y)=sen(x-y)cos (x+y), para (x0, y0)=(pi4,-pi2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=sen(x-y)cos(x+y)
no ponto l(x0,y0r)=l(pi4,-pi2r).
O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções de duas variáveis, usando regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u = x - y, v = x + y,
de modo que
f(x,y)=sen(u)cos(v)
Para partial fpartial x aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x =cos(u),partial upartial x,cos(v)-sen(u),l(-sin(v)r),partial vpartial xcos^2(v)
Como partial upartial x=1 e partial vpartial x=1, vem
partial fpartial x =cos(u)cos(v)+sen(u)sin(v)cos^2(v) =cosl(u-vr)cos^2(v),
pois cos(u-v)=cos ucos v+sen usin v. Como u-v=(x-y)-(x+y)=-2y,
partial fpartial x =cos(2y)cos^2(x+y)

Passo 3

Para partial fpartial y usamos novamente a regra do quociente:
partial fpartial y =cos(u),partial upartial y,cos(v)-sen(u),l(-sin(v)r),partial vpartial ycos^2(v)
Como partial upartial y=-1 e partial vpartial y=1, obtemos
partial fpartial y =-cos(u)cos(v)+sen(u)sin(v)cos^2(v) =-cos(u+v)cos^2(v),
pois cos(u+v)=cos ucos v-sen usin v. Como u+v=(x-y)+(x+y)=2x,
partial fpartial y =-cos(2x)cos^2(x+y)

Passo 4

Agora avaliamos em l(x0,y0r)=l(tfracpi4,-tfracpi2r).
x0+y0=pi4-pi2=-pi4, cosl(x0+y0r)=cosl(-tfracpi4r)=raiz22,
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cos^2l(x0+y0r)=12
Também
2y0=2l(-pi2r)=-pi, cos(2y0)=cos(-pi)=cospi=-1,
2x0=2cdotpi4=pi2, cos(2x0)=cosl(tfracpi2r)=0
Substituindo,
partial fpartial x(x0,y0) =cos(2y0)cos^2(x0+y0) =-1tfrac12=-2,
partial fpartial y(x0,y0) =-cos(2x0)cos^2(x0+y0) =-0tfrac12=0

Resposta

partial fpartial xl(tfracpi4,-tfracpi2r)=-2, partial fpartial yl(tfracpi4,-tfracpi2r)=0

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