Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y, z)=yx+y+z, para (x0, y0, z0)=(-1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=yx+y+z
no ponto (x0,y0,z0)=(-1,2,-3). O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente (ou, equivalentemente, a regra da cadeia aplicando f=y,(x+y+z)^-1).

Passo 2

Definimos
D = x + y + z,
de modo que
f(x,y,z)=yD=y,D^-1
Derivando em relação a cada variável:
Derivada parcial em x:
partial fpartial x = ycdot(-1),D^-2cdotpartial Dpartial x = -yD^2
Derivada parcial em y:
partial fpartial y = D^-1 + ycdot(-1),D^-2cdotpartial Dpartial y = 1cdot D - yD^2 = D - yD^2
Derivada parcial em z:
partial fpartial z = ycdot(-1),D^-2cdotpartial Dpartial z = -yD^2

Passo 3

No ponto (x0,y0,z0)=(-1,2,-3) temos
D0 = -1 + 2 + (-3) = -2, D0^2 = 4
Substituindo em cada fórmula:
partial fpartial x|(-1,2,-3) = -y0D0^2 = -24 = -12,
partial fpartial y|(-1,2,-3) = D0 - y0D0^2 = -2 - 24 = -1,
partial fpartial z|(-1,2,-3) = -y0D0^2 = -24 = -12

Resposta

partial fpartial x|(-1,2,-3) = -tfrac12, partial fpartial y|(-1,2,-3) = -1, partial fpartial z|(-1,2,-3) = -tfrac12

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