Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y, z)=raizx^2+3 y^2-2 z^2, para (x0, y0, z0)=(3,1,-2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=raizx^2+3y^2-2z^2
no ponto (x0,y0,z0)=(3,1,-2).
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais em funções compostas de várias variáveis, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y,z)=x^2+3y^2-2z^2,
de modo que
f(x,y,z)=l(u(x,y,z)r)^1/2
Pela regra da cadeia, para cada variável vinx,y,z temos
partial fpartial v =12,u^1/2;partial upartial v
Agora calculamos partial u/partial x, partial u/partial y e partial u/partial z:
partial upartial x=2x, partial upartial y=6y, partial upartial z=-4z

Passo 3

Substituindo em cada derivada parcial de f:
partial fpartial x =12raizu;2x =xraizu, partial fpartial y =12raizu;6y =3yraizu, partial fpartial z =12raizu;(-4z) =-2zraizu

Passo 4

No ponto (3,1,-2) temos
u(3,1,-2)=3^2+3cdot1^2-2cdot(-2)^2 =9+3-8=4, raizu(3,1,-2)=2
Logo,
partial fpartial x(3,1,-2) =32, partial fpartial y(3,1,-2) =3cdot12=32, partial fpartial z(3,1,-2) =-2cdot(-2)2=2

Resposta

partial fpartial x(3,1,-2)=32, partial fpartial y(3,1,-2)=32, partial fpartial z(3,1,-2)=2

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