Seja
a curva interseção das superfícies
,
e
, que liga o ponto
ao ponto
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
sobre a curva que é a interseção da esfera
sobre a curva
com o plano
ligando
a
.
O conteúdo envolvido é parametrização de curva em 3D e cálculo de integral de linha de função escalar.
O conteúdo envolvido é parametrização de curva em 3D e cálculo de integral de linha de função escalar.
Passo 2
Para parametrizar
, note que o plano
pode ser descrito por vetores
e
.
Então todo ponto em tem forma
Então todo ponto em
A condição de esfera
vira
Passo 3
Assim
e
satisfazem
, então escolhemos
Em particular, em
temos
que dá
, e em
vem
que dá
.
Logo a parametrização é
Logo a parametrização é
Dessa forma
e o comprimento de arco satisfaz
ou seja
ds=2,dt .
Passo 4
Na integral
integralCx^2,ds substituímos
ficando
Usando
cos^2t=tfrac12(1+cos2t) ,