Seja C a curva interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=4, z >= 0 e y=x, que liga o ponto A=(raiz2, raiz2, 0) ao ponto B=(1,1, raiz2).
Calcule integralC x^2 d s.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC x^2,ds
sobre a curva C que é a interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=4, z>=0
com o plano
y=x
ligando A=(raiz2,raiz2,0) a B=(1,1,raiz2).
O conteúdo envolvido é parametrização de curva em 3D e cálculo de integral de linha de função escalar.

Passo 2

Para parametrizar C, note que o plano y=x pode ser descrito por vetores
e1=tfrac1raiz2(1,1,0) e e2=(0,0,1).
Então todo ponto em C tem forma
r=(u, e1+v, e2)=(tfrac uraiz2,tfrac uraiz2,v)
A condição de esfera ;x^2+y^2+z^2=4; vira
l(tfrac uraiz2r)^2+l(tfrac uraiz2r)^2+v^2=u^2+v^2=4

Passo 3

Assim u e v satisfazem u^2+v^2=4, então escolhemos
u=2cos t, v=2sin t, tin[0,tfracpi4]
Em particular, em t=0 temos (u,v)=(2,0) que dá A, e em t=tfracpi4 vem (u,v)=(raiz2,raiz2) que dá B.
Logo a parametrização é
r(t)=l(tfrac2cos traiz2,,tfrac2cos traiz2,,2sin tr)=(raiz2cos t,;raiz2cos t,;2sin t)
Dessa forma
x(t)=raiz2cos t, u'(t)=-2sin t, v'(t)=2cos t,
e o comprimento de arco satisfaz
llvert r'(t)rrvert =raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2 =raiz4(sin^2t+cos^2t) =2,
ou seja ds=2,dt.

Passo 4

Na integral integralCx^2,ds substituímos
x^2(t)=(raiz2cos t)^2=2cos^2t, ds=2,dt,
ficando
integralCx^2,ds =integral0^pi/42cos^2t;l(2,dtr) =4integral0^pi/4cos^2t,dt
Usando cos^2t=tfrac12(1+cos2t),
4integral0^pi/4cos^2t,dt =4integral0^pi/4tfrac12(1+cos2t),dt =2l[t+tfracsin2t2r]0^pi/4 =2l(tfracpi4+tfrac12r) =tfracpi2+1

Resposta

pi2+1

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