Calcule os valores das derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir, nos pontos indicados:
f(x, y, z)=x e^y / z, para (x0, y0, z0)=(1,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x,e^yz
no ponto (x0,y0,z0)=(1,0,-1).
Para isso, vamos usar definição de derivada parcial, regra do produto (em x) e regra da cadeia (em y/z).

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais, tratamos uma variável por vez como variável de diferenciação e as demais como constantes:
Para partial fpartial x, o fator e^y/z é constante em x, logo
partial fpartial x = e^yz
Para partial fpartial y, aplicamos a regra da cadeia a e^y/z, sabendo que
partialpartial yl(tfracyzr)=tfrac1z. Assim,
partial fpartial y = x cdot e^yzcdot 1z
Para partial fpartial z, usamos
partialpartial zl(tfracyzr)=-yz^2. Então
partial fpartial z = x cdot e^yzcdotl(-yz^2r)

Passo 3

Agora avaliamos as fórmulas em (1,0,-1). Primeiro note que
e^y0z0 = e^0-1 = e^0 = 1
Logo
partial fpartial x(1,0,-1) = 1, partial fpartial y(1,0,-1) = 1cdot1cdot1-1 = -1, partial fpartial z(1,0,-1) = 1cdot1cdotl(-0(-1)^2r) = 0

Resposta

partial fpartial x(1,0,-1)=1
partial fpartial y(1,0,-1)=-1
partial fpartial z(1,0,-1)=0

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